Lógica · operadores, demostraciones, falacias

Si esto es verdad, ¿qué más tiene que serlo?

La lógica estudia qué conclusiones se siguen de verdad de lo que ya aceptas. Hace funcionar cada chip, sostiene cada demostración matemática y es la mejor defensa contra un mal argumento. Activa los interruptores, construye tablas de verdad, pon a prueba argumentos, recorre demostraciones y aprende a poner nombre a los trucos que usa la gente cuando la lógica no se sostiene.

Demo 1 · las piezas básicas

Operadores lógicos

Toda proposición es verdadera o falsa. Los operadores combinan proposiciones simples en otras compuestas, y cada uno tiene una regla exacta que dice cuándo el resultado es verdadero. Elige un operador, cambia P y Q y mira el diagrama: la zona sombreada es donde el resultado es verdadero.

Resultado
Se lee

El «si… entonces» sorprende a todosP → Q solo es falso cuando P es verdadero y Q es falso. «Si llueve, la calle está mojada» no se rompe con un día seco y soleado, ni con una calle mojada en un día de sol. Una premisa falsa hace verdadero todo el «si». Los lógicos lo llaman verdad vacua.
Demo 2 · construye

Constructor de tablas de verdad

Escribe cualquier proposición con hasta cinco letras y los operadores de abajo. La tabla recorre todas las combinaciones posibles de verdadero y falso, calcula cada parte paso a paso y te dice si la proposición es siempre verdadera (una tautología), nunca verdadera (una contradicción) o depende de los hechos.

Veredicto

Prueba una ley famosa

También puedes escribir not, and, or, xor, implies, iff o ! & | ^ -> <->.

Demo 3 · pon a prueba

¿Es válido el argumento?

Un argumento es válido cuando la conclusión no puede ser falsa si todas las premisas son verdaderas. La validez trata de la forma, no de los hechos: un argumento válido con una premisa falsa puede llegar a una conclusión falsa. El comprobador busca en cada fila un contraejemplo.

Veredicto

En palabras sencillas
Válido no es lo mismo que verdadero«Todos los gatos pueden volar. Tom es un gato. Así que Tom puede volar» es perfectamente válido y completamente falso. Un argumento que es válido y tiene premisas verdaderas se llama sólido. Solo los argumentos sólidos garantizan una conclusión verdadera.
Demo 4 · demuestra

Cómo funcionan las demostraciones

Una demostración es una cadena de pasos en la que cada uno se sigue del anterior por una regla que todos aceptan. Los matemáticos usan una y otra vez un puñado de estrategias. Recorre cinco clásicas.

Método
Afirmación
    Una demostración sin palabras

    La caja de herramientasLa demostración directa parte directamente de lo que sabes. La contrapositiva demuestra «no Q → no P» en lugar de «P → Q» (son equivalentes). La reducción al absurdo supone lo contrario y llega a un disparate. La inducción demuestra un primer caso y luego que cada caso implica el siguiente, como fichas de dominó.
    Demo 5 · lógica en silicio

    Puertas lógicas: un ordenador que suma

    En 1937 Claude Shannon demostró que los circuitos de conmutación obedecen el álgebra lógica de George Boole. Todo chip está hecho de puertas que calculan AND, OR, NOT y XOR con unos y ceros. Cinco puertas forman un sumador completo: toca las entradas y mira cómo suma tres bits.

    Entradas A + B + acarreo
    0 + 0 + 0
    Salida (acarreo, suma)
    00 = 0

    El bit de suma es 1 cuando un número impar de entradas vale 1 (dos puertas XOR). El bit de acarreo es 1 cuando al menos dos valen 1 (dos AND y un OR). Encadena 64 y podrás sumar números de 64 bits; los procesadores reales usan diseños más rápidos hechos con las mismas puertas.

    Una puerta para gobernarlas a todasNAND («no ambos») es universal: con solo puertas NAND puedes construir NOT, AND, OR, XOR y, por tanto, cualquier circuito digital. NOR también es universal.
    Demo 6 · acertijo

    Caballeros y escuderos

    En la isla de Raymond Smullyan, los caballeros siempre dicen la verdad y los escuderos siempre mienten. Toca a cada isleño para decidir si es caballero o escudero. Cada frase indica si tu suposición la hace coherente: lo que dice un caballero debe ser verdad, y lo que dice un escudero, mentira.

    Estado

    El trucoPrueba una posibilidad y síguela hasta el final. Si lleva a un caballero que miente o a un escudero que dice la verdad, es imposible, así que debe cumplirse la otra. Es una reducción al absurdo hecha de cabeza.
    Guía de campo

    Falacias lógicas

    Una falacia es un fallo de razonamiento que hace que un argumento parezca más fuerte de lo que es. Las falacias formales rompen las reglas de la propia lógica. Las informales tienen una estructura aparentemente válida pero se apoyan en lo irrelevante, en suposiciones ocultas o en palabras ambiguas. Detectar la falacia no demuestra que la conclusión sea falsa, solo que este argumento no la respalda.

    Detecta la falacia

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    La falacia de la falaciaConcluir que una afirmación es falsa solo porque alguien la defendió mal es, en sí mismo, una falacia. Una conclusión verdadera puede defenderse con un argumento pésimo.
    Grandes ideas

    De Aristóteles a los límites de la demostración